Квадратні рівняння – це рівняння, які містять квадратичні та лінійні терміни. Вони можуть бути розв’язані за допомогою різних методів, включаючи факторизацію, використання формул, метод доповнення квадрату, або за допомогою графіків.

Найпоширеніший метод розв’язання квадратного рівняння – використання формули дискримінанта. Дискримінант є числовим параметром, який дозволяє визначити, скільки розв’язків має квадратне рівняння. Якщо дискримінант більший за нуль, рівняння має два різних розв’язки. Якщо дискримінант дорівнює нулю, рівняння має один розв’язок. Якщо дискримінант менше нуля, рівняння не має різних розв’язків.

Наприклад, розглянемо рівняння x^2 + 5x + 6 = 0. Для його розв’язання, спочатку вирахуємо дискримінант, згідно формули D = b^2 – 4ac, де a, b та c – коефіцієнти рівняння. У нашому випадку, a = 1, b = 5 і c = 6. Після підстановки отримуємо D = 5^2 – 4 * 1 * 6 = 1.

Методи розв’язування квадратних рівнянь

Квадратні рівняння є одними з найпоширеніших рівнянь в математиці. Вони мають вигляд:

ax² + bx + c = 0,

де a, b, c – це коефіцієнти рівняння, а x – невідома змінна. Розв’язування квадратних рівнянь можна здійснювати за допомогою різних методів.

Дискримінантний метод: Цей метод базується на обчисленні дискримінанту рівняння. Дискримінант D обчислюється за формулою D = b² – 4ac. Якщо D > 0, то рівняння має два різних корені – x₁ і x₂. Якщо D = 0, то рівняння має один подвійний корінь – x. Якщо D < 0, то рівняння немає дійсних коренів.

Формула коренів: Корені квадратного рівняння можна обчислити за формулами x₁ = (-b + √D) / 2a і x₂ = (-b – √D) / 2a. Якщо рівняння має один корінь, то його можна записати як x = -b / 2a.

Графічний метод: Графічний метод полягає в побудові графіку функції y = ax² + bx + c і знаходженні точок перетину графіка з віссю абсцис, які відповідають кореням рівняння.

Застосовуючи ці методи, ми можемо розв’язати квадратні рівняння і знайти їх корені. Розв’язки цих рівнянь широко застосовуються в різних галузях науки і техніки, таких як фізика, економіка і інженерія.

Метод дискримінанту

Д = b² – 4ac

де a, b і c – коефіцієнти квадратного рівняння вигляду ax² + bx + c = 0.

Дискримінант може мати три можливих значення:

1. Д > 0. У цьому випадку рівняння має два різних дійсних корені, які обчислюються за формулами:

x₁ = (-b + √D) / (2a)

x₂ = (-b – √D) / (2a)

2. Д = 0. У цьому випадку рівняння має один подвійний корінь, який обчислюється за формулою:

x = -b / (2a)

3. Д < 0. У цьому випадку рівняння не має дійсних коренів.

Використовуючи метод дискримінанту, ми можемо швидко визначити кількість та тип коренів квадратного рівняння без необхідності розв’язування самого рівняння.

Метод факторизації

Метод факторизації є одним з методів розв’язання квадратних рівнянь, який базується на факторизації квадратного тричлена у добуток двох лінійних тричленів. Цей метод досить простий і швидкий при правильному використанні.

Алгоритм методу факторизації полягає в наступному:

1. Записати квадратне рівняння у вигляді ax^2 + bx + c = 0.
2. Знаходимо добуток a*c.
3. Шукаємо два числа p і q, такі що p*q = a*c та p+q=b.
4. Записуємо квадратне рівняння у вигляді (px + q)(qx + r) = 0 та розкриваємо дужки.
5. Отримуємо два лінійних рівняння px + q = 0 та qx + r = 0.
6. Розв’язуємо ці рівняння і отримуємо значення x.

Цей метод може бути використаний для розв’язання квадратних рівнянь з раціональними коренями. Однак, слід враховувати, що не всі квадратні рівняння можуть бути розв’язані за допомогою цього методу. У разі, якщо метод факторизації невдалий, можна скористатися іншими методами, такими як метод дискримінанту чи метод заміни.

Метод завершення квадрату

При використанні цього методу, квадратне рівняння виду ax² + bx + c = 0 перетворюється до квадрату додаванням або відніманням певного числа.

Кроки методу завершення квадрату:

1. Виразіть рівняння у формі, де компонент при x² має коефіцієнт 1.
2. Згрупуйте перші два доданки у виразі так, щоб утворити повний квадрат.
3. Додайте або відніміть число, яке допоможе завершити квадрат.
4. Перетворіть вираз в квадрат, факторизуйте його і розв’яжіть отримане рівняння.

Приклад:

Розв’яжемо квадратне рівняння 3x² – 6x + 2 = 0 за допомогою методу завершення квадрату.

1. Виразимо рівняння у формі, де компонент при x² має коефіцієнт 1:
   x² – (2/3)x + 2/3 = 0
2. Згрупуємо перші два доданки:
   (x² – (2/3)x) + 2/3 = 0
3. Додамо число, щоб утворити повний квадрат:
   (x² – (2/3)x + (1/3)²) + 2/3 – (1/3)² = 0
4. Перетворимо вираз в квадрат та факторизуємо:

   (x – 1/3)² + 1/3 = 0

   (x – 1/3)² = -1/3

   x – 1/3 = ± √(-1/3)

   x = 1/3 ± √(-1/3)

Отже, розв’язками квадратного рівняння 3x² – 6x + 2 = 0 є числа 1/3 + √(-1/3) та 1/3 – √(-1/3).

Приклади розв’язування квадратних рівнянь

Приклад 1

Дано квадратне рівняння:

x² + 5x + 6 = 0

Використаємо обернений метод:

Приклад 2

Дано квадратне рівняння:

2x² – 3x – 5 = 0

Використаємо формулу дискримінанта: